sigara hat geschrieben:
Ich verstehe die Formel von Derwisch nicht, aber egal.
Die Differenz der Differenzen ist wohl:
b) 1 - 4 - 10 - 20 - 35 - 56
Die Differenzen dazu sind:
3 - 6 - 10 - 15 - 21
Daraus die Differenzen dann:
3 - 4 - 5 - 6
So eine Aufgabe würde bei Eignungstests schon mal nicht drankommen, weil in einer Minute nicht lösbar
Nun willst du aber sicher keine Formel dafür haben, oder?
Doch :lol:
Ich fang mal andersherum an. Die erste Aufgabe stellte sich mir, als ich Kugeln, welche zu einem gleichseitigen Dreieck zusammengelegt waren, zählen wollte. Die Gesetzmäßigkeit in dieser Konstellation ist leicht zu durchschauen: Liegt eine einzelne Kugel, ist es halt eine. An diese passen genau zwei Kugeln, um ein gleichseitiges Dreieck zu bilden und an diese Reihe halt drei, dann vier usw.
Somit ergibt sich die Summe aller Kugeln aus 1 + 2 + 3 + ... + x. Die in eine kurze und knackige Formel gepackte mathematische Beziehung dahinter fand ich durch simple Beobachtung.
Liegen in der letzten Reihe drei Kugeln, dann würden in der nächsten Reihe vier liegen. 3 x 4 = 12 und das geteilt durch 2 ergibt 6. Sechs Kugeln liegen in diesem Dreieck, wenn in der letzten Reihe 3 Kugeln sind (1 + 2 + 3 = 6). Der mathematisch interessierte Leser wird nun fragen, warum ich auf die Idee kam, das Produkt zu halbieren. Ganz einfach: Bei einem Quadrat rechnet man den Inhalt (egal ob Fläche oder Kugeln) ja Kantenlänge ins Quadrat. Ein diagonal geteiltes Quadrat ergibt ja ein Dreieck...
Somit hatte ich also meine Formel schnell gefunden: X = (a(n) * a(n+1)) / 2
Die Steigerung dieser Aufgabe war, die Kugeln nicht mehr im Dreieck auszulegen, sondern nun zu einer Pyramide zu stapeln. Man benötigt drei Kugeln an der Basis, um eine Kugel obenauf zu legen. Die Pyramide besteht dann aus insgesamt vier Kugeln. Die nächste Schicht darunter besteht aus wieviel Kugeln? Richtig! Aus sechs Kugeln, die im Dreieck liegen. Darauf passen drei Kugeln und auf diese nur eine. Somit ergibt sich die Zahlenreihe 1 - 3 - 6, was in Gesamtkugeln (Rauminhalt) also die Zahlenreihe 1 - 4 - 10 ergibt. Wie kommt man nun mit dieser Erkenntnis zu einer vereinfachten Formel? Auch hier sei wieder der Gedankensprung zum Quadrat gestattet. Da wir nun aber dreidimensional arbeiten, brauchen wir auch das dreidimensionale Quadrat - den Würfel! Die Herleitung ist mathematisch nicht ganz sauber und dient eigentlich nur der geistigen Vereinfachung des Problemes, aber mich hat sie der Lösung schnell nahe gebracht. Analog wie bei der ersten Aufgabe muss man (theoretisch) die Kantenlänge mal Kantenlänge nehmen und da wir nun drei- statt zweidimensional arbeiten, das ganze nochmal mal Kantenlänge. Bei einem Würfel funktioniert das bereits, aber bei einer gleichseitigen Pyramide aus Kugeln geht das nicht. In Anlehnung zu Aufgabe 1 habe ich also versucht, die Anzahl der Etagen (die ja der Anzahl Kugeln an der Außenseite der Basis entspricht) mit den um eins und um zwei erhöhten Wert zu multiplizieren und dann nicht zu halbieren (weil nicht mehr zweidimensional) sondern durch sechs zu dividieren. Die Formel sieht dann so aus: x = (a(n) x a(n+1) x a(n+2)) / 6
Voilá - es funktioniert! Hat man also eine Kugelpyramide mit 10 Etagen, so kann man die Menge der Kugeln mit 10 x 11 x 12 / 6 schnell auf 220 beziffern. War doch garnicht so schwierig, oder?
Zu drittens sag ich mal noch nix...
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