Problem: Für für f(x) = x^4+x^3+x^2+x+1 sollen die Nullstellen gefunden werden.



Bemerkungen:

Die obigen Nullstellen konnten wir aus den folgenden Gründen sofort benennen: Die Lösungsmenge {exp(i · 2kpi/5): k = 1,...,5} der Gleichung x5-1 = 0 ist identisch mit den fünften Wurzeln der Zahl 1. Der Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1 (Einheitskreis) wird durch diese komplexen Zahlen in fünf gleichgroße Bogenstücke aufgeteilt. Dividiert man x5-1 durch x-1, erhält man das Polynom x4+x3+x2+x+1, das somit die komplexen Nullstellen {xk = exp(i · 2kpi/5): k = 1,...,4} hat. Aus x1 = exp(i · 2pi/5) = cos2pi/5 + i · sin2pi/5 folgt die Radikal-Darstellung per Additionstheorem: 0 = sin2pi = sin(5 · 2pi/5) = 16 · sin52pi/5 - 20 · sin32pi/5 + 5 · sin2pi/5. Daher ist sin2pi/5 eine Nullstelle des Polynoms 16x4-20x2+5, das man mit der Substitution z:=x2 zerlegen kann.

Die exakte Berechnung der Nullstellen eines Polynoms mittels Grundrechen- und Wurzeloperationen bezeichnet man als „Auflösung einer Gleichung durch Radikale”. Für lineare Gleichungen ax+b = 0 liefert die Formel: x = -b/a die Lösungen, und bei quadratischen Gleichungen kann man die quadratische Ergänzung anwenden. Gleichungen dritten bzw. vierten Grades können mit der Cardanischen Formel bzw. mit dem Verfahren von Ferrari exakt gelöst werden. Solche allgemeinen Formeln gibt es für Gleichungen höheren Grades allerdings nicht. Zu dieser Erkenntnis gelangt man durch die Galoistheorie, wo man die sogenannte Galoisgruppe einer Gleichung betrachtet. Gewisse Untergruppen dieser Gruppe entsprechen nämlich den Zwischenschritten zur Auflösung der Gleichung:

Korrekt formuliert ist eine Gleichung genau dann auflösbar, wenn es Untergruppen der zugehörigen Galoisgruppe G gibt, die eine Normalreihe G = Go ⊃ G1 ⊃ ... ⊃ Gn = {id} mit abelschen Faktoren Gi / Gi+1 i ∈ {0,...,n-1} bilden. Die Lösungen einer Gleichung kann man also genau dann durch Radikale darstellen, wenn die zugehörige Galoisgruppe auflösbar ist. Die Galoisgruppe des allgemeinen Polynoms vom Grad n ist die volle symmetrische Gruppe Sn, die für n ≥ 5 nicht auflösbar ist. Daraus folgt der denkwürdige Satz:

Zu keinem n ≥ 5 existiert eine Formel, um die Nullstellen des allgemeinen Polynoms vom Grade n exakt (durch Radikale) zu bestimmen.

Trotzdem ist zunächst nicht ausgeschlossen, dass für jedes konkrete Polynom ein individuelles Verfahren existiert (etwa eine spezielle Substitution), um die Nullstellen exakt zu bestimmen. Beispielsweise erhält man die Nullstellen von x8-2x4+1 durch die Substitution z:=x4. Das Polynom 32x5+40x4-20x3 -25x2+9x/8+45/32 ist mittels z:=2x+½ zu „knacken”. Auch die Gleichung x5+15x-44=0 muss durch Radikale lösbar sein, das besagt die zugehörige Galoisgruppe. Wir geben jetzt aber eine Gleichung an, die tatsächlich nicht auflösbar ist: Es ist unmöglich, die Lösungen von
x5 + 4x4 - 2 = 0
genau zu bestimmen. Man kann zwar numerisch die Werte mit großer Präzision approximativ berechnen, die exakten Lösungen erhält man auf diese Weise aber ebenso wenig wie durch noch so verschachtelte Substitutionen. Wir wollen diese Aussage jetzt beweisen, weil viele Leser sich fragen dürften, warum ausgerechnet eine so harmlos aussehende Gleichung unlösbar sein soll. Der Kürze halber gehen wir dabei auf das unvermeidliche algebraische Vokabular nicht näher ein:

Aus dem Kriterium von Eisenstein und dem Gaußschen Lemma folgt: Das Polynom f mit f(x) = x5+4x4-2 ist über dem Körper der rationalen Zahlen unzerlegbar. Eine elementare Kurvendiskussion zeigt, dass f genau drei einfache reelle Nullstellen hat, also existieren zwei konjugiert komplexe Nullstellen. Die komplexe Konjugation ist für die drei reellen Nullstellen die Identität, folglich enthält die Galoisgruppe Gal(f) ⊆ S5 eine Transposition. Außerdem folgt aus dem Gradsatz und dem Satz von Cauchy, dass Gal(f) eine Permutation der Ordnung 5 enthält. Somit ist die Galoisgruppe von f die volle symmetrische Gruppe S5 - q.e.d.

Nicht nur das obige Polynom, sondern die weitaus meisten Polynome vom Grad n ≥ 5 haben als Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe Sn und sind damit nicht auflösbar. Eine wichtige Ausnahme bilden die Kreisteilungs-Polynome, deren Galoisgruppe jeweils isomorph zu der abelschen Gruppe Z/nZ* ist. Falls p eine Primzahl ist, hat das p-te Kreisteilungs-Polynom die Gestalt xp-1+xp-2+...+1. Wir wollen es bei dieser Skizzierung von elementaren Anwendungen der Galoistheorie belassen. Die nächste Abstraktionsstufe besteht übrigens darin, nicht mehr die Wurzeln einer algebraischen Gleichung, sondern den von ihnen erzeugten Körper zu betrachten, wobei an die Stelle der Permutationen die Körper-Automorphismen treten.

So elegant die Galoistheorie auch ist, ihr Ursprung gleicht einer Tragödie: Wenige Stunden vor seiner tödlichen Verwundung in einem Pistolen-Duell schrieb Evariste Galois seine bahnbrechenden Erkenntnisse nieder. Was der Zwanzigjährige im Morgengrauen des 30. Mai 1832 in verzweifelter Eile zu Papier brachte, fasziniert den mathematisch Interessierten auch noch 174 Jahre später. Ruhm konnte Galois zu Lebzeiten aber nicht ernten. Im Bewußtsein der eigenen Fähigkeiten und voller Verachtung für beschränkte Mitmenschen glich sein kurzes Leben einem Kampf gegen Windmühlen. Seine mathematischen Manuskripte, die er bereits als Siebzehnjähriger verfasste, stießen auf Unverständnis oder verschwanden auf seltsame Weise bei den Prüfungskommissionen.

Bezeichnend ist auch der Verlauf seiner Aufnahmeprüfung an der École Polytechnique:
Evariste Galois

Evariste Galois
1811 - 1832
Einer der Prüfer konnte oder wollte Galois' unkonventionellen Lösungsweg zu einer schwierigen Aufgabe nicht verstehen. Voller Zorn warf Evariste seinem Peiniger dann den Tafellappen ins Gesicht, womit aus der angestrebten Polytechnique-Ausbildung natürlich nichts wurde.
Erst Jahrzehnte nach seinem Tod verneigte sich die mathematische Welt vor Evariste Galois - seither gilt seine Theorie als fundamentaler Bestandteil der Algebra. Bell beschreibt in seinem empfehlenswerten Buch: „Die großen Mathematiker” ausführlich das kurze Leben des brillanten Franzosen.
(Quelle: http://mathematik-online.de/F88.htm)

Ist das nicht beeindruckend?

Îch bin beeindruckt!

Sorry, aber das übersteigt nun wirklich mein rudimentäres Mathe-Verständnis.
Hast du das tatsächlich begriffen?

Alle Achtung!

Ich fand die Chaostheorie mal sehr interessant und schrieb Zeitungsartikel zum Sierpinski-Dreieck. Inzwischen bin ich weiter! Ich weiß jetzt einfach so, dass ich zum Betreten der Kinderzimmer Hochseestiefel benötige...

Natürlich! Bin ja schließlich kein kleiner Dummer...

Alle Achtung!



Ich vermisse dabrain. Der hätte das sicher auch begriffen und eine Abkürzung gefunden.